Задания на метод гаусса. Метод Гаусса для чайников: примеры решений

Содержание

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Задания на метод гаусса. Метод Гаусса для чайников: примеры решений

Пояснительная записка

Данная методическая разработка предназначенадля проведения занятия по дисциплине“Математика” на тему “Решение систем линейныхуравнений методом Гаусса” по программе учебнойдисциплины, разработанной на основеФедерального государственного образовательногостандарта для специальностей среднегопрофессионального образования.

В результате изучения темы студент должен:

знать:

  • элементарные преобразования над матрицами;
  • этапы решения систем линейных уравнений методом Гаусса.

уметь:

  • решать системы линейных уравнений методом Гаусса.

Цели занятия:

обучающие:

  • рассмотреть элементарные преобразования над матрицами;
  • рассмотреть метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.

развивающие:

  • развивать умения анализировать полученную информацию, делать выводы;

воспитательные:

  • воспитывать у студентов интерес к изучаемой дисциплине, показывать значимость знаний по данной теме для их дальнейшей профессиональной деятельности;
  • воспитывать готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни.

Ход занятия

Деятельность преподавателя Деятельность студентовОбщее время
1. Организационная часть
Отмечает студентов в журнале1 мин
2. Проверка самостоятельной работыСдают выполненную внеаудиторную самостоятельную работу5 мин
3. Изложение теоретического материала
Сообщает тему и цели занятияАнализируют цель занятияФиксируют тему в тетрадь1 мин
Объясняет ход занятияФиксируют план лекции в тетрадь3 мин
Знакомит с методом ГауссаФиксируют этапы решения системы линейных уравнений методом Гаусса15 мин
Знакомит с элементарными преобразованиями матрицыФиксируют элементарные преобразования матрицы15 мин
Рассматривает метод Гаусса на конкретном примереФиксируют ход решения в тетрадь12 мин
4. Практическая часть
Выполняют задания25 мин
Осуществляет консультирование студентов по итогу проведения занятияЗадают вопросы5 мин
5. Итоги занятия
Проверяет результаты работыОценивают результаты своей работы5 мин
Фиксирует результаты проверки в журнал
Выдает внеаудиторную самостоятельную работу с объяснениямиФиксируют задание, озвучивают вопросы по выполнению3 мин

Оценка “отлично”:

  • работа выполнена полностью;
  • в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
  • в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).

Оценка “хорошо”:

  • работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
  • допущены одна ошибка или есть два–три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).

Оценка “удовлетворительно”:

  • допущено более одной ошибки или более двух–трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.

Оценка “неудовлетворительно”:

  • допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Общее время – 90 мин.

План занятия:

  1. Организационный момент;
  2. Проверка внеаудиторной самостоятельной работы;
  3. Теоретическая часть;
  4. Практическая часть;
  5. Итоги занятия.

Теоретическая часть

Одним из наиболее универсальных и эффективныхметодов решений систем линейных уравненийявляется метод Гаусса, состоящий впоследовательном исключении неизвестных.

Система n линейных уравнений с m неизвестнымиможет имеет вид:

,где

 i=1, 2, 3,…, n; j=1, 2, 3,…, m.

Заметим, что число неизвестных m и числоуравнений n в общем случае между собой никак несвязаны. Возможны три случая: m=n, m > n, m < n.

Решением системы называется любая конечнаяпоследовательность из m чисел (, которая являетсярешением каждого из уравнений системы.

Процесс решения по методу Гаусса состоит издвух этапов:

1. Система приводится к ступенчатому(треугольному) виду

2. Последовательное определение неизвестных изполучившейся ступенчатой системы.

Пусть дана система трех линейных уравнений стремя неизвестными x, y, z

Введем в рассмотрение матрицу систему  и расширеннуюматрицу .

Элементарные преобразования матриц:

1. Перестановка местами двух рядов матрицы:

;

2. Умножение (деление) всех элементов рядаматрицы на число, отличное от нуля:

Разделим элементы первой строки на 2, а второй –умножим на 2

.

3. Прибавление ко всем элементам одного рядаматрицы соответствующих элементов другого ряда,умноженных на одно и тоже число:

Умножим элементы первой строки на 2:

.

Прибавим ко всем элементам первой строкисоответствующие элементы второй строки, при этомэлементы первой строки запишем без изменений:

Разделим элементы первой строки на 2:

.

На практике некоторые действия выполняютустно:

Если в процессе преобразований появитсянулевой ряд в матрице, его можно удалить.

Рассмотрим суть метода Гаусса на конкретнойсистеме линейных уравнений (см Приложение):

Решите систему линейных уравнений методомГаусса

Запишем расширенную матрицу:

Исходная система свелась к ступенчатой:

Из последнего уравнения из предпоследнего уравнения или .

Найдем из первого уравнения : или .

Ответ: (4; 3; 2)

Практическая часть

Решите системы (работа в группах):

а)

б)

в)

Дополнительные задания:

а)

б)

Самостоятельная работа

Составление опорного конспекта”Различные методы решения систем линейныхуравнений”

Инструкция по выполнениюсамостоятельной работы

1. Различные методы решения систем линейныхуравнений:

  • Решение линейных уравнений по формулам Крамера;
  • Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

2. Решите системы линейных уравнений:

а)

б)

в)

г)

Критерии оценки выполнениясамостоятельной работы:

Оценка “отлично”:

  • работа выполнена полностью;
  • в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
  • в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).

Оценка “хорошо”:

  • работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
  • допущены одна ошибка или есть два–три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).

Оценка “удовлетворительно”:

  • допущено более одной ошибки или более двух–трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.

Оценка “неудовлетворительно”:

  • допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.

22.12.2016

Источник: https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/662856/

Метод Гаусса на Java

Задания на метод гаусса. Метод Гаусса для чайников: примеры решений

Статья посвящена реализации алгоритма Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений на языке Java.

Теоретические сведения

Рассмотрим математическую теорию. Система линейных уравнений может иметь одно решение, бесконечно много решений или же быть несовместной (не иметь решений). Не все методы решения СЛАУ могут справится с вторым случаем, когда система имеет бесконечно много решений.

Например, метод Крамера и матричный метод не применимы, но метод Гаусса вполне можно использовать. Алгоритм можно условно разделить на два этапа:
В первом этапе образуются нули ниже или выше главной диагонали, за счет использования элементарных преобразований матрицы. На втором этапе находят неизвестные начиная с конца.

Подробную теорию можно посмотреть по ссылке: метод Гаусса, поэтому с теорией пожалуй все. Перейдем к реализации.

Реализация

Начнем с постановки задачи:

  • нам нужно создать программу, реализующую систему линейных уравнений в виде некоторой структуры данных, используя приемы обобщенного программирования. Система должна содержать коэффициенты производного типа от класса Number (т.е. Float, Integer, Double и т.д.)
  • Запрограммировать алгоритм, который получив на вход структуру данных системы образует нули ниже главной диагонали

Начнем с написания интерфейса, который должно реализовывать каждое уравнение: package gauss; public interface Gauss { public void addEquation(T item); public void mul(N coefficient); public N findCoefficient(N a, N b); public N at(int index); public int size();}
Здесь все должно быть ясно, N некоторый наследник Number'а, T — некоторый тип, реализующий данный интерфейс (рекурсивные дженерики). Метод addEquation(T item) позволяет прибавить каждый элемент уравнения item к каждому своему элементу. Остальные методы работают аналогично. Теперь рассмотрим класс системы уравнений. Как видно в листинге ниже, он дженеризирован так же, как и интерфейс Gauss и содержит методы для удобного доступа к приватному списку содержащих в себе уравнений. package gauss; import java.util.ArrayList;import java.util.List; public class LinearSystem { private List list = new ArrayList(); public T get(int index){ return list.get(index); } public void push(T elem){ list.add(elem); } public int size(){ return list.size(); } public N itemAt(int i, int j){ return list.get(i).at(j); }}
Теперь можно приступать к реализации «частного случая» структуры уравнения. Создадим класс MyEquation, реализующий наш интерфейс. Пусть наследником Number'а будет сверхточный класс Float (на практике лучше брать Double). Обратите внимание, что в методе addEquation(MyEquation item) используется объект класса ListIterator, позволяющий изменять элементы перебираемого списка. package gauss; import java.util.ArrayList;import java.util.List;import java.util.ListIterator;import java.util.Random; public class MyEquation implements Gauss { private List equation = new ArrayList(); public List getEquation(){ return equation; } public void generate(int size){ if (size < 2) size = 2; this.equation.clear(); for (int i = 0; i < size; i++){ Random random = new Random(); this.equation.add((float) (random.nextInt()%10) + 1); } } @Override public int size(){ return equation.size(); } @Override public void addEquation(MyEquation item){ ListIterator i = equation.listIterator(); ListIterator j = item.getEquation().listIterator(); for(; i.hasNext() && j.hasNext();){ Float a = i.next(); Float b = j.next(); i.set(a + b); } } @Override public void mul(Float coefficient){ for(ListIterator i = equation.listIterator(); i.hasNext();){ Float next = i.next(); i.set(next * coefficient); } } @Override public Float findCoefficient(Float a, Float b){ if (a == 0.0f) return 1.0f; return -b/a; } @Override public Float at(int index){ return equation.get(index); }} Теперь имеем полноценную структуру данных, реализующую систему уравнений. Составим алгоритм который будет принимать некоторый объект, реализующий интерфейс Gauss, затем вызывая нужные методы приведет матрицу к нужному виду. package gauss; public class Algorithm { LinearSystem list = null; public Algorithm(LinearSystem system){ list = system; } public void calculate() throws NullPointerException, ArithmeticException{ if (list == null){ throw new NullPointerException("LinearSystem instance equal null"); } if (!checkSystem(list)){ throw new ArithmeticException("Incorrect system for Gauss Method"); } for(int i = 0; i < list.size() - 1; i++){ for(int j = i + 1; j < list.size(); j++){ N k = list.get(j).findCoefficient(list.get(j).at(i), list.get(i).at(i)); list.get(j).mul(k); list.get(j).addEquation(list.get(i)); } } } private boolean checkSystem(LinearSystem system){ if (system.size() < 2) return false; for(int i = 0; i < system.size(); i++){ if (system.get(i).size() != (system.size() + 1)){ return false; } } return true; }}
Алгоритм простой, найти нужный коэффициент, домножить на него i-ю строку (i=0..n-1), и прибавить ее к j-й строке (j=i..n). Заметьте, алгоритм не знает как именно реализуются методы findCoefficient, mul и addEquation, это придает коду бОльшую гибкость, т.к. при потребности изменить способы манипуляции уравнениями (строками), будут изменены только реализации трех вышеупомянутых методов, а главный алгоритм останется нетронутым.

Почти все. Осталось запустить это все в методе main:

import gauss.Algorithm;import gauss.MyEquation;import gauss.LinearSystem; public class Main { private static final int DEFAULT_EQUATIONS_NUMBER = 2; private static final int DEFAULT_VARIABLES_NUMBER = 2; public static void main(String args[]){ LinearSystem list = generateSystem(); printSystem(list); int i, j; Algorithm alg = new Algorithm(list); try{ alg.calculate(); }catch (NullPointerException e){ System.out.println(e.getMessage()); System.exit(0); }catch (ArithmeticException e){ System.out.println(e.getMessage()); System.exit(0); } Float [] x = new Float[DEFAULT_EQUATIONS_NUMBER]; for(i = list.size() – 1; i >= 0; i–) { Float sum = 0.0f; for(j = list.size() – 1; j > i; j–) { sum += list.itemAt(i, j) * x[j]; } x[i] = (list.itemAt(i, list.size()) – sum) / list.itemAt(i, j); } printSystem(list); printVector(x); } public static LinearSystem generateSystem(){ LinearSystem list = new LinearSystem(); int i; for (i = 0; i < DEFAULT_EQUATIONS_NUMBER; i++){ MyEquation eq = new MyEquation(); eq.generate(DEFAULT_VARIABLES_NUMBER + 1); list.push(eq); } return list; } public static void printSystem(LinearSystem system){ for (int i = 0; i < system.size(); i++){ MyEquation temp = system.get(i); String s = ""; for (int j = 0; j < temp.size(); j++){ s += String.format("%f; %s", system.itemAt(i, j), "\t"); } System.out.println(s); }System.out.println(""); } public static void printVector(Float [] x){ String s = ""; for (int i = 0; i < x.length; i++){ s += String.format("x%d = %f; ", i, x[i]); }System.out.println(s); }} Запустим это чудо, что бы проверить корректность работы…

Это все. Исходники можно скачать на github'е.

Вывод

Метод Гаусса не очень поддается обобщенному программированию (как видите обратный ход выполнен отдельно), однако вышла своеобразная реализация которая, надеюсь, поможет кому то лучше разобраться в искусстве использования интерфейсов и дженериков.

Список использованной литературы:

  • метод Гаусса
  • системы уравнений
  • java
  • обобщенное программирование
  • дженерики

Хабы:

Источник: https://habr.com/post/270289/

Метод Гаусса

Задания на метод гаусса. Метод Гаусса для чайников: примеры решений

Метод преобразований Гаусса (также известный как преобразование методом последовательного исключения неизвестных переменных из уравнения или матрицы) для решения систем линейных уравнений представляет собой классический методом решения системы алгебраических уравнений (СЛАУ).Также этот классический метод используют для решения таких задач как получение обратных матриц и определения ранговости матрицы.

Преобразование с помощью метода Гаусса заключается в совершении небольших (элементарных) последовательных изменениях системы линейных алгебраических уравнений, приводящих к исключению переменных из неё сверху вниз с образованием новой треугольной системы уравнений, являющейся равносильной исходной.

Определение 1

Эта часть решения носит название прямого хода решения Гаусса, так как весь процесс осуществляется сверху вниз.

После приведения исходной системы уравнений к треугольной осуществляется нахождение всех переменных системы снизу вверх (то есть первые найденные переменные занимают находятся именно на последних строчках системы или матрицы).

Эта часть решения известна также как обратный ход решения методом Гаусса.

Заключается его алгоритм в следующем: сначала вычисляется переменные, находящиеся ближе всего к низу системы уравнений или матрицы, затем полученные значения подставляются выше и таким образом находится ещё одна переменная и так далее.

  • Курсовая работа 430 руб.
  • Реферат 260 руб.
  • Контрольная работа 240 руб.

Описание алгоритма метода Гаусса

Последовательность действий для общего решения системы уравнения методом Гаусса заключается в поочередном применении прямого и обратного хода к матрице на основе СЛАУ.Пусть исходная система уравнений имеет следующий вид:

$\begin{cases} a_{11} \cdot x_1 +…+ a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ … \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{cases}$

Чтобы решить СЛАУ методом Гаусса, необходимо записать исходную систему уравнений в виде матрицы:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ \vdots & … & \vdots \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{pmatrix}$, $b=\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$

Матрица $A$ называется основной матрицей и представляет собой записанные по порядку коэффициенты при переменных, а $b$ называется столбцом её свободных членов.Матрица $A$, записанная через черту со столбцом свободных членов называется расширенной матрицей:

$A = \begin{array}{ccc|c} a_{11} & … & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & …\\ a_{m1} & … & a_{mn} & b_m \end{array}$

Теперь необходимо с помощью элементарных преобразований над системой уравнений (или над матрицей, так как это удобнее) привести её к следующему виду:

$\begin{cases} α_{1j_{1}} \cdot x_{j_{1}} + α_{1j_{2}} \cdot x_{j_{2}}…+ α_{1j_{r}} \cdot x_{j_{r}} +… α_{1j_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_1 \\ α_{2j_{2}} \cdot x_{j_{2}}…+ α_{2j_{r}} \cdot x_{j_{r}} +… α_{2j_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_2 \\ …\\ α_{rj_{r}} \cdot x_{j_{r}} +… α_{rj_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \\ 0 = β_m \end{cases}$ (1)

Матрица, полученная из коэффициентов преобразованной системы уравнения (1) называется ступенчатой, вот так обычно выглядят ступенчатые матрицы:

$A = \begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ 0 & a_{22} & a_{23} & b_2\\ 0 & 0 & a_{33} & b_3 \end{array}$

Для этих матриц характерен следующий набор свойств:

  1. Все её нулевые строки стоят после ненулевых
  2. Если некоторая строка матрицы с номером $k$ ненулевая, то в предыдущей строчке этой же матрицы нулей меньше, чем в этой, обладающей номером $k$.

После получения ступенчатой матрицы необходимо подставить полученные переменные в оставшиеся уравнения (начиная с конца) и получить оставшиеся значения переменных.

Основные правила и разрешаемые преобразования при использовании метода Гаусса

При упрощении матрицы или системы уравнений этим методом нужно использовать только элементарные преобразования.

Таким преобразованиями считаются операции, которые возможно применять к матрице или системе уравнений без изменения её смысла:

  • перестановка нескольких строк местами,
  • прибавление или вычитание из одной строчки матрицы другой строчки из неё же,
  • умножение или деление строчки на константу, не равную нулю,
  • строчку, состоящую из одних нулей, полученную в процессе вычисления и упрощения системы, нужно удалить,
  • Также нужно удалить лишние пропорциональные строчки, выбрав для системы единственную из них с более подходящими и удобными для дальнейших вычислений коэффициентами.

Все элементарные преобразования являются обратимыми.

Разбор трёх основных случаев, возникающих при решении линейных уравнений используя метод простых преобразований Гаусса

Различают три возникающих случая при использовании метода Гаусса для решения систем:

  1. Когда система несовместная, то есть у неё нет каких-либо решений
  2. У системы уравнений есть решение, причём единственное, а количество ненулевых строк и столбцов в матрице равно между собой.
  3. Система имеет некое количество или множество возможных решений, а количество строк в ней меньше чем количество столбцов.

Исход решения с несовместной системой

Для этого варианта при решении матричного уравнения методом Гаусса характерно получение какой-то строчки с невозможностью выполнения равенства. Поэтому при возникновении хотя бы одного неправильного равенства полученная и исходная системы не имеют решений вне зависимости от остальных уравнений, которые они содержат.Пример несовместной матрицы:

$\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}$

В последней строчке возникло невыполняемое равенство: $0 \cdot x_{31} + 0 \cdot x_{32} + 0 \cdot x_{33} = 1$.

Система уравнений, у которой есть только одно решение

Данные системы после приведения к ступенчатой матрице и удаления строчек с нулями имеют одинаковое количество строк и столбцов в основной матрице. Вот простейший пример такой системы:

$\begin{cases} x_1 – x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end{cases}$

Запишем её в виде матрицы:

$\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end{array}$

Чтобы привести первую ячейку второй строчки к нулю, домножим верхнюю строку на $-2$ и вычтем её из нижней строчки матрицы, а верхнюю строчку оставим в исходном виде, в итоге имеем следующее:

$\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end{array}$

Этот пример можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x_1 – x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end{cases}$

Из нижнего уравнения выходит следующее значение $x$: $x_2 = 3 \frac{1}{3}$. Подставим это значение в верхнее уравнение: $x_1 – 3 \frac{1}{3}$, получаем $x_1 = 1 \frac{2}{3}$.

Система, обладающая множеством возможных вариантов решений

Для этой системы характерно меньшее количество значащих строк, чем количество столбцов в ней (учитываются строки основной матрицы).

Переменные в такой системе делятся на два вида: базисные и свободные. При преобразовании такой системы содержащиеся в ней основные переменные необходимо оставить в левой области до знака “=”, а остальные переменные перенести в правую часть равенства.

У такой системы есть только некое общее решение.

Разберём следующую систему уравнений:

$\begin{cases} 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 – 4y_4 = 1 \end{cases}$

Запишем её в виде матрицы:

$\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end{array}$

Наша задача найти общее решение системы.Для этой матрицы базисными переменными будут $y_1$ и $y_3$ (для $y_1$ – так как он стоит на первом месте, а в случае $y_3$ – располагается после нулей).

В качестве базисных переменных выбираем именно те, которые первые в строке не равны нулю.

Оставшиеся переменные называются свободными, через них нам необходимо выразить базисные.

Используя так называемый обратный ход, разбираем систему снизу вверх, для этого сначала выражаем $y_3$ из нижней строчки системы:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac{4/5}y_4 + \frac{1}{5}$.

Теперь в верхнее уравнение системы $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ подставляем выраженное $y_3$:$2y_1 + 3y_2 – (\frac{4}{5}y_4 + \frac{1}{5}) + y_4 = 1$

Выражаем $y_1$ через свободные переменные $y_2$ и $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 – \frac{4}{5}y_4 – \frac{1}{5} + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac{4}{5}y_4 + \frac{1}{5} – y_4$

$2y_1 = -3y_2 – \frac{1}{5}y_4 + \frac{6}{5}$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

Решение готово.

Пример 1

Решить слау методом Гаусса. Примеры.Пример решения системы линейных уравнений заданных матрицей 3 на 3 используя метод Гаусса

$\begin{cases} 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 – 2×3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end{cases}$

Запишем нашу систему в виде расширенной матрицы:

$\begin{array}{ccc|c} 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end{array}$

Теперь для удобства и практичности нужно преобразовать матрицу так, чтобы в верхнем углу крайнего столбца была $1$.

Для этого к 1-ой строчке нужно прибавляем строчку из середины, умноженную на $-1$, а саму среднюю строчку записываем как есть, выходит:

$\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end{array}$

Далее к средней строчке прибавим верхнюю, умноженную на $5$, а последнюю строчку преобразуем, умножив первую строчку на 3 и сложив с последней, получаем:

$\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end{array}$

Домножим верхнюю и последнюю строчки на $-1$, а также поменяем местами последнюю и среднюю строки:

$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end{array}$

Далее сложим последнюю строчку с удвоенной средней:

$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end{array}$

И разделим последнюю строчку на $3$:

$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{array}$

Получаем следующую систему уравнений, равносильную исходной:

$\begin{cases} x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end{cases}$

Из верхнего уравнения выражаем $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Пример 2

Пример решения системы, заданной с помощью матрицы 4 на 4 методом Гаусса

$\begin{array}{cccc|c} 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end{array}$.

В начале меняем местами верхнюю исследующую за ней строчки, чтобы получить в левом верхнем углу $1$:

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end{array}$.

Теперь умножим верхнюю строчку на $-2$ и прибавим ко 2-ой и к 3-ьей. К 4-ой прибавляем 1-ую строку, домноженную на $-3$:

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & -1 & 3 & -1 & 4 \\ \end{array}$

Теперь к строке с номером 3 прибавляем строку 2, умноженную на $4$, а к строке 4 прибавляем строку 2, умноженную на $-1$.

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end{array}$

Домножаем строку 2 на $-1$, а строку 4 делим на $3$ и ставим на место строки 3.

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end{array}$

Теперь прибавляем к последней строке предпоследнюю, домноженную на $-5$.

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}$

Решаем полученную систему уравнений:

$\begin{cases} m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end{cases}$

$y=2$, $x = 0$.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/metod_gaussa/

Метода Гаусса: примеры решения СЛАУ: понятия, определения, примеры задач

Задания на метод гаусса. Метод Гаусса для чайников: примеры решений

В данной статье мы:

  • дадим определение методу Гаусса,
  • разберем алгоритм действий при решении линейных уравнений, где количество уравнений совпадает c количеством неизвестных переменных, а определитель не равен нулю;
  • разберем алгоритм действий при решении СЛАУ с прямоугольной или вырожденной матрицей.

Метод Гаусса — что это такое?

Определение 1

Метод Гаусса — это метод, который применяется при решении систем линейных алгебраических уравнений и имеет следующие преимущества:

  • отсутствует необходимость проверять систему уравнений на совместность;
  • есть возможность решать системы уравнений, где:
  • количество определителей совпадает с количеством неизвестных переменных;
  • количество определителей не совпадает с количеством неизвестных переменных;
  • определитель равен нулю.
  • результат выдается при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Основные определения и обозначения

Пример 1

Есть система из р линейных уравнений с n неизвестными (p может быть равно n):

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2⋯ap1x1+ap2x2+…+apnxn=bp,

где x1, x2, …., xn — неизвестные переменные, aij, i=1, 2…,p, j=1, 2…,n — числа (действительные или комплексные), b1, b2,…, bn — свободные члены.

Определение 2

Если b1=b2=…=bn=0, то такую систему линейных уравнений называют однородной, если наоборот — неоднородной.

Определение 3

Решение СЛАУ — совокупность значения неизвестных переменных x1=a1, x2=a2, …, xn=an, при которых все уравнения системы становятся тождественными друг другу.

Определение 4

Совместная СЛАУ — система, для которой существует хотя бы один вариант решения. В противном случае она называется несовместной.

Определение 5

Определенная СЛАУ — это такая система, которая имеет единственное решение. В случае, если решений больше одного, то такая система будет называться неопределенной.

Определение 6

Координатный вид записи:

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2⋯ap1x1+ap2x2+…+apnxn=bp

Определение 7

Матричный вид записи: AX=B, где

A=a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯ap1ap2⋯apn – основная матрица СЛАУ;

X=x1x2⋮xn – матрица-столбец неизвестных переменных;

B=b1b2⋮bn – матрица свободных членов.

Определение 8

Расширенная матрица — матрица, которая получается при добавлении в качестве (n+1) столбца матрицу-столбец свободных членов и имеет обозначение Т.

T=a11a12⋮a1nb1a21a22⋮a2nb2⋮⋮⋮⋮   ⋮ap1ap2⋮apnbn

Определение 9

Вырожденная квадратная матрица А — матрица, определитель которой равняется нулю. Если определитель не равен нулю, то такая матрица, а потом называется невырожденной.

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с равным количеством уравнений и неизвестных (обратный и прямой ход метода Гаусса)

Для начала разберемся с определениями прямого и обратного ходов метода Гаусса.

Определение 10

Прямой ход Гаусса — процесс последовательного исключения неизвестных.

Определение 11

Обратный ход Гаусса — процесс последовательного нахождения неизвестных от последнего уравнения к первому.

Алгоритм метода Гаусса:

Пример 2

Решаем систему из n линейных уравнений с n неизвестными переменными:

a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn=b2a31x1+a32x2+a33x3+…+a3nxn=b3⋯ an1x1+an2x2+an3x3+…+annxn=bn

Определитель матрицы не равен нулю.

  1. a11 не равен нулю – всегда можно добиться этого перестановкой уравнений системы;
  2. исключаем переменную x1 из всех уравнений систему, начиная со второго;
  3. прибавим ко второму уравнению системы первое, которое умножено на -a21a11, прибавим к третьему уравнению первое умноженное на -a21a11 и т.д.

После проведенных действий матрица примет вид:

a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn=b1             a(1)22×2+a(1)23×3+…+a(1)2nxn=b(1)2             a(1)32×2+a(1)33×3+…+a(1)3nxn=b(1)3⋯              a(1)n2x2+a(1)n3x3+…+a(1)nnxn=b(1)n,

где aij(1)=aij+a1j(-ai1a11), i=2, 3, …, n, j=2, 3, …, n, bi(1)=bi+b1(-ai1a11), i=2, 3, …, n.

Далее производим аналогичные действия с выделенной частью системы:

a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn=b1             a(1)22×2+a(1)23×3+…+a(1)2nxn=b(1)2             a(1)32×2+a(1)33×3+…+a(1)3nxn=b(1)3⋯              a(1)n2x2+a(1)n3x3+…+a(1)nnxn=b(1)n

Считается, что a22(1) не равна нулю. Таким образом, приступаем к исключению неизвестной переменной x2 из всех уравнений, начиная с третьего:

  • к третьему уравнению систему прибавляем второе, которое умножено на -a(1)42a(1)22;
  • к четвертому прибавляем второе, которое умножено на -a(1)42a(1)22 и т.д.

После таких манипуляций СЛАУ имеет следующий вид:

a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn=b1             a(1)22×2+a(1)23×3+…+a(1)2nxn=b(1)2                               a(2)33×3+…+a(2)3nxn=b(2)3⋯                                a(2)n3x3+…+a(2)nnxn=b(2)n,

где aij(2)=a(1)ij+a2j(-a(1)i2a(1)22), i=3, 4, …, n, j=3, 4, …, n, bi(2)=b(1)i+b(1)2(-a(1)i2a(1)22), i=3, 4, …, n..

Таким образом, переменная x2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x3, действуя по аналоги с предыдущим образцом:

a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn=b1             a(1)22×2+a(1)23×3+…+a(1)2nxn=b(1)2                               a(2)33×3+…+a(2)3nxn=b(2)3⋯                                                         a(n-1)nnxn=b(n-1)n

Примечание

После того как система приняла такой вид, можно начать обратный ход метода Гаусса:

  • вычисляем xn из последнего уравнения как xn=bn(n-1)ann(n-1);
  • с помощью полученного xn находим xn-1 из предпоследнего уравнения и т.д., находим x1 из первого уравнения.

Пример 3

Найти решение системы уравнений методом Гаусса:

3×1+2×2+x3+x4=-2×1-x2+4×3-x4=-1-2×1-2×2-3×3+x4=9×1+5×2-x3+2×4=4

Как решать?

Коэффициент a11отличен от нуля, поэтому приступаем к прямому ходу решения, т.е. к исключению переменной x11из всех уравнений системы, кроме первого. Для того, чтобы это сделать, прибавляем к левой и правой частям 2-го, 3-го и 4-го уравнений левую и правую часть первого, которая умножена на -a21a11:

-13, -а31а11=–23=23 и -а41а11=-13.

3×1+2×2+x3+x4=-2×1-x2+4×3-x4=-1-2×1-2×2-3×3+x4=9×1+5×2-x3+2×4=4⇔

⇔3×1+2×2+x3+x4=-2×1-x2+4×3-x4+(-13)(3×1+2×2+x3+x4)=-1+(-13)(-2)-2×1-2×2-3×3+x4+23(3×1+2×2+x3+x4)=9+23(-2)x1+5×2-x3+2×4+(-13)(3×1+2×2+x3+x4)=4+(-13)(-2)⇔

⇔3×1+2×2+x3+x4=-2         -53 x2+113×3-43×4=-13          -23×2-73×3+53×4=233          133×2-43×3+53×4=143

Мы исключили неизвестную переменную x1, теперь приступаем к исключению переменной x2:

-a32(1)a22(1)=–23-53=-25 и а42(1)а22(1)=-133-53=135:

3×1+2×2+x3+x4=-2         -53 x2+113×3-43×4=-13          -23×2-73×3+53×4=233          133×2-43×3+53×4=143⇔

⇔3×1+2×2+x3+x4=-2         -53 x2+113×3-43×4=-13          -23×2-73×3+53×4+(-25)(-53×2+113×3-43×4)=233+(-25)(-13)          133×2-43×3+53×4+135(-53×2+113×3-43×4)=143+135(-13)⇔

⇔3×1+2×2+x3+x4=-2         -53 x2+113×3-43×4=-13                      -195×3+115×4=395                           415×3-95×4=195

Для того чтобы завершить прямой ход метода Гаусса, необходимо исключить x3 из последнего уравнения системы -а43(2)а33(2)=-415-195=4119 :

3×1+2×2+x3+x4=-2         -53 x2+113×3-43×4=-13                      -195×3+115×4=395                           415×3-95×4=195⇔

3×1+2×2+x3+x4=-2         -53 x2+113×3-43×4=-13                      -195×3+115×4=395                           415×3-95×4+4119(-195×3+115×4)=195+4119395⇔

⇔3×1+2×2+x3+x4=-2         -53 x2+113×3-43×4=-13                      -195×3+115×4=395                                         5619×4=39219

Обратный ход метода Гаусса:

  • из последнего уравнения имеем: x4=392195619=7;
  • из 3-го уравнения получаем: x3=-519(395-115×4)=-519(395-115×7)=3819=2;
  • из 2-го: x2=-35(-13-113×4+43×4)=-35(-13-113×2+43×7)=-1;

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/issledovanie-slau/metod-gaussa/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.