Составьте уравнение прямой проходящей через точки онлайн. Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой на плоскости

Составьте уравнение прямой проходящей через точки онлайн. Общее уравнение прямой

Уравнение вида называется общим уравнением прямой на плоскости. При различных численных значениях A, B и C, в том числе нулевых, оно может определять всевозможные прямые без исключения.

Одна из фундаментальных задач аналитической геометрии – составление общего уравнения прямой по точке, ей принадлежащей, и вектору нормали.

Вектор нормали – это вектор, перпендикулярный искомой прямой. Вектор нормали чаще всего записывается так: . Координаты точки – и .

Общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали составляется по формуле:

  (1).

Пример 1. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точку и вектор нормали к ней .

Решение. Используя формулу (1), получаем:

Из примера 1 видно, что координаты вектора нормали пропорциональны числам A и B из общего уравнения прямой на плоскости. Это не совпадение, а закономерность! Поэтому в общем случае, если известно общее уравнение прямой на плоскости, то вектор нормали к прямой можно записать так: .

Пример 2. Задано общее уравнение прямой на плоскости: . Записать вектор нормали к этой прямой.

Решение. В заданном уравнении , . Поэтому вектор нормали запишется:

.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Если вектор нормали перпендикулярен искомой прямой, то направляющий вектор параллелен ей. Направляющий вектор обычно записывается так: . Имеет место следующая зависимость координат направляющего вектора от чисел A и B общего уравнения прямой: .

Пример 3. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точку и её направляющий вектор .

Решение. Используя формулу (2), имеем:

.

Далее путём преобразований получаем:

На всякий случай сделаем проверку – подставим в полученное общее уравнение прямой координаты точки, которая должна ей принадлежать:

.

Получили верное равенство. А координаты вектора связаны с числами A и B уравнения закономерностью . Значит, задание выполнено корректно.

Пример 4. Задано общее уравнение прямой на плоскости: . Записать направляющий вектор к этой прямой.

Решение. В заданном уравнении , . Поэтому направляющий вектор запишется:

.

Решая задачи контрольных работ, особенно, если задач много и к концу контрольной студент стремится наверстать упущенное за время обдумывания заданий, можно запутаться в знаках, записывая вектор нормали и направляющий вектор. Будьте внимательны!

Уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости

Если заданы две точки и , то уравнение прямой, проходящей через эти точки, можно составить по формуле

.   (3)

Полученное выражение следует преобразовать к виду общего уравнения прямой.

Пример 5. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точки и .

Решение. Используя формулу (3), имеем:

.

Далее путём преобразований получаем:

Получили общее уравнение плоскости.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Прямая и плоскость

Пример 6. Построить в прямоугольной системе координат на плоскости прямую, заданную общим уравнением .

Решение. Для построения прямой достаточно знать координаты каких-либо двух точек, например, точек пересечения прямой с координатными осями. Полагая в данном уравнении , получим , т.е. – точка пересечения прямой с осью Oy.

При получим , т.е. – точка пересечения прямой с осью Ox.

По двум точкам и строим прямую (рисунок слева.)

Вектором нормали этой прямой служит вектор .

Преобразование уравнения прямой с угловым коэффициентом в общее уравнение прямой

Во многих задачах аналитической геометрии возникает необходимость преобразовать уравнения одного вида к уравнению другого вида. Преобразование уравнения прямой с угловым коэффициентом в общее уравнение прямой делается достаточно просто: в уравнении вида всё переносим в левую часть, а в правой остаётся нуль. Получается уравнение вида .

Пример 7. Дано уравнение прямой с угловым коэффициентом . Записать уравнение этой прямой в общем виде и направляющий вектор этой прямой.

Решение. Всё переносим в левую часть, а в правой оставляем нуль:

.

Получили общее уравнение прямой. В нём . Поэтому направляющий вектор запишется так:

.

Неполные уравнения прямой

Рассмотрим особенности расположения прямой на плоскости в тех случаях, когда те или иные коэффициенты общего уравнения прямой равны нулю.

1. При уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат, так как кординаты точки удовлетворяют этому уравнению.

2. При уравнение определяет прямую, параллельную оси Ox, поскольку вектор нормали этой прямой перпендикулярен оси Ox. Аналогично при уравнение определяет прямую, параллельную оси Oy.

3. При уравнение определяет ось Ox, так как эта прямая одновременно параллельна оси Ox и проходит через начало координат. Аналогично, при уравнение определяет ось Oy.

Пример 8. Построить в прямоугольной системе координат на плоскости прямую, заданную общим уравнением .

Решение. В данном уравнении свободный член равен нулю, поэтому оно определяет прямую, проходящую через начало координат. Следовательно, в точке прямая пересекает обе координатные оси.

Для построения прямой нужно знать ещё какую-либо её точку. Для этого дадим одной из переменных в заданном уравнении произвольное значение, например, , и найдём соответствующее значение x: .

Теперь строим прямую, проходящую через начало координат и точку (рисунок слева).

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Прямая и плоскость

Всё по теме “Прямая на плоскости

Уравнение прямой с угловым коэффициентом Общее уравнение прямой на плоскости Уравнение прямой в отрезках Каноническое уравнение прямой на плоскости Параметрические уравнения прямой на плоскости Нормальное уравнение прямой на плоскости, расстояние от точки до прямой

Источник: https://function-x.ru/line2.html

Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки: примеры, решения, уравнение прямой по двум точкам

Составьте уравнение прямой проходящей через точки онлайн. Общее уравнение прямой

Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат. Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости

Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.

Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с направляющим вектором прямой.Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Рассмотрим на примере решения подобной задачи. Необходимо составить уравнение прямой a, проходящей через две несовпадающие точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2), находящиеся в декартовой системе координат.

В каноническом уравнении прямой на плоскости, имеющего вид x-x1ax=y-y1ay, задается прямоугольная система координат Оху с прямой, которая пересекается с ней в точке с координатами M1(x1, y1) с направляющим вектором  a→=(ax, ay).

Необходимо составить каноническое уравнение прямой a, которая пройдет через две точки с координатами M1(x1, y1) и M2(x2, y2).

Прямая а имеет направляющий вектор M1M2→ с координатами(x2-x1, y2-y1), так как пересекает точки М1 и М2. Мы получили необходимые данные для того, чтобы преобразовать каноническое уравнение  с координатами направляющего вектора M1M2→=(x2-x1, y2-y1) и координатами лежащих на них точках M1(x1, y1) и M2(x2, y2). Получим уравнение вида x-x1x2-x1=y-y1y2-y1 или x-x2x2-x1=y-y2y2-y1.

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Следуя по вычислениям, запишем параметрические уравнения прямой на плоскости, которое проходит через две точки с координатами M1(x1, y1) и M2(x2, y2). Получим уравнение вида x=x1+(x2-x1)·λy=y1+(y2-y1)·λ или x=x2+(x2-x1)·λy=y2+(y2-y1)·λ.

Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.

Пример 1

Записать уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки с координатами M1-5, 23, M21, -16.

Решение

Каноническим уравнением для прямой, пересекающейся в двух точках с координатами x1, y1 и x2, y2 принимает вид x-x1x2-x1=y-y1y2-y1. По условию задачи имеем, что x1=-5, y1=23, x2=1, y2=-16.  Необходимо подставить числовые значения в уравнение x-x1x2-x1=y-y1y2-y1. Отсюда получим, что каноническое уравнение примет вид x-(-5)1-(-5)=y-23-16-23⇔x+56=y-23-56.

Ответ: x+56=y-23-56.

При необходимости  решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.

Пример 2

Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки с координатами M1(1, 1) и M2(4, 2) в системе координат Оху.

Решение

Для начала необходимо записать каноническое уравнение заданной прямой, которая проходит через заданные две точки. Получим уравнение вида x-14-1=y-12-1⇔x-13=y-11.

Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:

x-13=y-11⇔1·x-1=3·y-1⇔x-3y+2=0

Ответ: x-3y+2=0.

Примеры таких заданий были рассмотрены в школьных учебниках на уроках алгебры. Школьные задачи отличались тем, что известным было уравнение прямой с угловым коэффициентом, имеющее вид y=kx+b.

Если необходимо найти значение углового коэффициента k и числа b, при которых уравнение y=kx+b определяет линию в системе Оху, которая проходит через  точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2), где x1≠x2.

Когда x1=x2, тогда угловой коэффициент принимает значение бесконечности, а прямая М1М2 определена общим неполным уравнением вида x-x1=0.

Потому как точки М1 и М2 находятся на прямой, тогда их координаты удовлетворяют уравнению y1=kx1+bи y2=kx2+b. Следует решить систему уравнений y1=kx1+by2=kx2+b относительно k и b.

Для этого найдем k=y2-y1x2-x1b=y1-y2-y1x2-x1·x1 или k=y2-y1x2-x1b=y2-y2-y1x2-x1·x2.

С такими значениями k и b уравнение прямой, проходящее через заданные две точки, принимает следующий вид y=y2-y1x2-x1·x+y2-y2-y1x2-x1·x1 или y=y2-y1x2-x1·x+y2-y2-y1x2-x1·x2.

Запомнить сразу такое огромное количество формул не получится. Для этого необходимо учащать количество повторений в решениях задач.

Пример 3

Записать уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точки с координатами M2(2, 1) и y=kx+b.

Решение

Для решения задачи применяем формулу с угловым коэффициентом, имеющую вид y=kx+b. Коэффициенты k и b должны принимать такое значение, чтобы данное уравнение соответствовало прямой, проходящей через две точки с координатами M1(-7, -5) и M2(2, 1).

Точки М1 и М2  располагаются на прямой, тогда их координаты должны обращать уравнение y=kx+b  верное равенство. Отсюда получаем, что -5=k·(-7)+b и 1=k·2+b. Объединим уравнение в систему -5=k·-7+b1=k·2+bи решим.

При подстановке получаем, что

-5=k·-7+b1=k·2+b⇔b=-5+7k2k+b=1⇔b=-5+7k2k-5+7k=1⇔⇔b=-5+7kk=23⇔b=-5+7·23k=23⇔b=-13k=23

Теперь значения k=23 и b=-13 подвергаются подстановке в уравнение y=kx+b. Получаем, что искомым уравнением, проходящим через заданные точки, будет уравнение, имеющее вид y=23x-13.

Такой способ решения предопределяет траты большого количества времени. Существует способ, при котором задание решается буквально в два действия.

Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через M2(2, 1) и M1(-7, -5), имеющее вид x-(-7)2-(-7)=y-(-5)1-(-5)⇔x+79=y+56. 

Теперь переходим к уравнению в угловым коэффициентом. Получаем, что: x+79=y+56⇔6·(x+7)=9·(y+5)⇔y=23x-13.

Ответ: y=23x-13.

Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве

Если в трехмерном пространстве имеется прямоугольная система координат Охуz с двумя заданными несовпадающими точками с координатами M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), проходящая через них прямая M1M2, необходимо получить уравнение этой прямой.

Имеем, что канонические уравнения вида x-x1ax=y-y1ay=z-z1az и параметрические вида x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λспособны задать линию в системе координат Охуz, проходящую через точки, имеющие координаты (x1, y1, z1) с направляющим вектором a→=(ax, ay, az).

Прямая M1M2имеет направляющий вектор вида M1M2→=(x2-x1, y2-y1, z2-z1), где прямая проходит через точку M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), отсюда каноническое уравнение может быть вида x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1 или x-x2x2-x1=y-y2y2-y1=z-z2z2-z1, в свою очередь параметрические x=x1+(x2-x1)·λy=y1+(y2-y1)·λz=z1+(z2-z1)·λ или x=x2+(x2-x1)·λy=y2+(y2-y1)·λz=z2+(z2-z1)·λ.

Рассмотрим рисунок, на котором изображены 2 заданные точки в пространстве  и уравнение прямой.

Пример 4

Написать уравнение прямой, определенной в прямоугольной системе координат Охуz трехмерного пространства, проходящей через заданные две точки с координатами M1(2, -3, 0) и M2(1, -3, -5).

Решение

Необходимо найти каноническое уравнение. Так как речь идет о трехмерном пространстве, значит при прохождении прямой через заданные точки, искомое каноническое уравнение примет вид x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1.

По условию имеем, что x1=2, y1=-3, z1=0, x2=1, y2=-3, z2=-5. Отсюда следует, что необходимые уравнения запишутся таким образом:

x-21-2=y-(-3)-3-(-3)=z-0-5-0⇔x-2-1=y+30=z-5

Ответ: x-2-1=y+30=z-5.

Опиши задание Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/uravnenie-prjamoj-kotoraja-prohodit-cherez-dve-zad/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.