Найти и классифицировать точки разрыва функции онлайн. Классификация точек разрыва функций

Классификация точек разрыва

Найти и классифицировать точки разрыва функции онлайн. Классификация точек разрыва функций

Точки в которых функция не является непрерывной называется точкой разрыва.

$latex=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

Определение:

Если существует конечный предел справа $latex=(f(a+0))$

$latex=\lim_{x\rightarrow a+0}f(x)(=f(a+0))$ и$latex=\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)(=f(a-0))$,

причём $latex=f(a-0)=f(a+0)eq f(a),$ то точка $latex=a$ называется точкой устранимого разрыва.(название устранимый, оправдывает себя), его можно устранить изменив значение функций в точке $latex=a$ .

Пример

1) $latex=f(x)=sgn{2}x=\begin{cases}1, & \text{ } xeq 0 \\ 0, & \text{ } x= 0 \end{cases}$

$latex=sgn {x}=\begin{cases}1, & \text{ } x> 0\\ 0, & \text{ } x=0 \\ -1, & \text{ } x< 0 \end{cases}$

$latex=\lim_{x\rightarrow +0}sgn{2}x=1eq 0$

точка 0-точка устранимого разрыва.

2) $latex=f(x)=\begin{cases}x\sin \frac{1}{x}, & \text{ } xeq 0\\ 1, & \text{ } x=0 \end{cases}$ 

$latex=\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{x}_{0}\sin \frac{1}{x}=0eq 1$

$latex=x=0$ точка устранимого разрыва.

Примеры

1) $latex=f(x)=sgnx=\begin{cases}1, & \text{ } x> 0\\ 0, & \text{ } x=0 \\ -1, & \text{ } x< 0 \end{cases}$

$latex=f(+0)=1< \infty$

$latex=f(-0)=-1< \infty$

2)$latex=f(x)=\begin{cases}x{2}, & \text{ } x> 0 \\ 5, & \text{ } x=0 \\2x-2, & \text{ } x< 0 \end{cases}$

 Учебники :

  • Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1, Глава 1, § 5, Тема 5.1 «Точки непрерывности и точки разрыва функции» стр.84-87;
  •  Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций»  стр.146-167 ;
  • Ильин В.А.,Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть1, Глава 4, § 8  «Классификация точек разрыва функции» стр.143-145.

Сборники задач:

  • Демидович Б.П. «Сборник упражнений по амтематическому анализу» 13-еиздание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
  • Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции»  стр.50-58.

Тест расчитан на людей которые внимательно изучили разделы: «Точки разрыва монотонной функции» и «Классификация точек разрыва», и следовали всем рекомендациям

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

  1. Количество баллов: 8
  2. Количество баллов: 6
  3. Количество баллов: 6
  4. Количество баллов: 6

    Соотнесите функции с их названиями!

    • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\in \mathbb{Q}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
    • $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{q}, & \text{ } x=\frac{p}{q} ,p\in \mathbb{Z}, q\in \mathbb{N}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
    • $$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & \text{ } xeq 0 \\ 0, & \text{ } x= 0 \end{cases}$$
    • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\geq 0,x\in \mathbb{R}\\ 0, & \text{ } x< 0,x\in \mathbb{R} \end{cases}$$
    • $$f(x)=\begin{cases}-1, & \text{ } x 0 \end{cases}$$
    • Функция с устранимым разрывом
  5. Количество баллов: 6
максимум из 32 баллов

Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

}f(x)=f(x_{0})$ Классификация точек разрыва. Определение: Если существует кон…”,”word_count”:514,”direction”:”ltr”,”total_pages”:1,”rendered_pages”:1}

Источник: https://ib.mazurok.com/2013/05/23/%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F-%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BA-%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%B0/

Точки разрыва функции – определения, классификация и примеры

Найти и классифицировать точки разрыва функции онлайн. Классификация точек разрыва функций

Определения точек разрыва первого и второго рода. Основные факты, используемые при исследовании функций на непрерывность. Примеры решения задач, в которых требуется найти точки разрыва и определить вид разрыва.

Определение точки разрыва функции
Конечная точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если функция определена на некоторой проколотой окрестности точки x0, но не является непрерывной в этой точке.

То есть, в точке разрыва, функция либо не определена, либо определена, но хотя бы один односторонний предел в этой точке или не существует, или не равен значению f(x0) функции в точке x0. См. «Определение непрерывности функции в точке».

Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.

Определение скачка функции
Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.

Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва, если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .

Таким образом, точка устранимого разрыва – это точка разрыва первого рода, в которой скачек функции равен нулю.

Определение точки разрыва 2-го рода
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Исследование функций на непрерывность

При исследовании функций на непрерывность мы используем следующие факты.

  • Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. К ним относятся следующие функции: , а также постоянная и обратные к ним функции. См. «Справочник по элементарным функциям».
  • Сумма, разность и произведение непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве.Частное двух непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. См. «Арифметические свойства непрерывных функций»
  • Сложная функция непрерывна в точке , если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . См. «Предел и непрерывность сложной функции»

Пример 1

Задана функция и два значения аргумента и . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа, установить вид разрыва; 3) сделать схематический чертеж.
.

Решение

Заданная функция является сложной. Ее можно рассматривать как композицию двух функций:
,   . Тогда
.

Рассмотрим функцию . Она составлена из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и деления. Функция является элементарной – степенной функцией с показателем степени 1. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .

Поэтому функция определена и непрерывна для всех , кроме точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем уравнение:
.
Получаем единственный корень .

Итак, функция определена и непрерывна для всех , кроме точки .

Рассмотрим функцию . Это показательная функция с положительным основанием степени. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .
Поэтому заданная функция определена и непрерывна для всех значений переменной , кроме точки .

Таким образом, в точке , заданная функция является непрерывной.

График функции y = 41/(x+2).

Рассмотрим точку . В этой точке функция не определена. Поэтому она не является непрерывной. Установим род разрыва. Для этого находим односторонние пределы.

Используя связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями, для предела слева имеем:
при ,
,
,
.

Здесь мы использовали следующие общепринятые обозначения:
.
Также мы использовали свойство показательной функции с основанием :
.

Аналогично, для предела справа имеем:
при ,
,
,
.

Поскольку один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке разрыв второго рода.

Ответ

В точке   функция непрерывна.
В точке   разрыв второго рода,
.

Пример 2

Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Указать род разрыва и скачек функции, если есть. Сделать чертеж.
.

Решение

График заданной функции.

Функция является степенной функцией с целым показателем степени, равным 1. Такую функцию также называют линейной. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .

В   входят еще две функции: и . Они составлены из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и умножения:
,  .
Поэтому они также непрерывны для всех .

Поскольку функции, входящие в состав непрерывны для всех , то может иметь точки разрыва только в точках склейки ее составляющих. Это точки и . Исследуем на непрерывность в этих точках. Для этого найдем односторонние пределы.

Рассмотрим точку . Чтобы найти левый предел функции в этой точке, мы должны использовать значения этой функции в любой левой проколотой окрестности точки . Возьмем окрестность . На ней .

Тогда предел слева:
.
Здесь мы использовали тот факт, что функция является непрерывной в точке (как и в любой другой точке).

Поэтому ее левый (как и правый) предел равен значению функции в этой точке.

Найдем правый предел в точке . Для этого мы должны использовать значения функции в любой правой проколотой окрестности этой точки. Возьмем окрестность . На ней . Тогда предел справа:
.
Здесь мы также воспользовались непрерывностью функции .

Поскольку, в точке , предел слева не равен пределу справа, то в ней функция не является непрерывной – это точка разрыва. Поскольку односторонние пределы конечны, то это точка разрыва первого рода. Скачек функции:
.

Теперь рассмотрим точку . Тем же способом вычисляем односторонние пределы:
;
.
Поскольку функция определена в точке и левый предел равен правому, то функция непрерывна в этой точке.

Ответ

Функция имеет разрыв первого рода в точке . Скачек функции в ней: . В остальных точках функция непрерывна.

Пример 3

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если
.

Решение

Воспользуемся тем, что линейная функция определена и непрерывна для всех . Заданная функция составлена из линейной функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления:
.
Поэтому она определена и непрерывна для всех , за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Найдем эти точки. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем квадратное уравнение:
;
;
;   . Тогда

.

Используем формулу:
. С ее помощью, разложим числитель на множители:

.

Тогда заданная функция примет вид:
(П1)   .
Она определена и непрерывна для всех , кроме точек и . Поэтому точки и являются точками разрыва функции.

Разделим числитель и знаменатель дроби в (П1) на :
(П2)   .
Такую операцию мы можем проделать, если . Таким образом,
  при  .
То есть функции и отличаются только в одной точке: определена при , а в этой точке не определена.

Чтобы определить род точек разрыва, нам нужно найти односторонние пределы функции в точках и .

Для их вычисления мы воспользуемся тем, что если значения функции изменить, или сделать неопределенными в конечном числе точек, то это не окажет ни какого влияние на величину или существование предела в произвольной точке (см.

«Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела»). То есть пределы функции в любых точках равны пределам функции .

Рассмотрим точку . Знаменатель дроби в функции , при в нуль не обращается. Поэтому она определена и непрерывна при . Отсюда следует, что существует предел при и он равен значению функции в этой точке:
.
Поэтому точка является точкой устранимого разрыва первого рода.

Рассмотрим точку . Используя связь бесконечно малых и бесконечно больших функций, имеем:
;
.
Поскольку пределы бесконечные, то в этой точке разрыв второго рода.

Ответ

Функция имеет точку устранимого разрыва первого рода при , и точку разрыва второго рода при .

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.

Олег Одинцов.     : 22-09-2018

Источник: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/nepreryvnost-funktsii/tochki-razryva/

Точки разрыва функции и их виды

Найти и классифицировать точки разрыва функции онлайн. Классификация точек разрыва функций

Определение точек разрыва функции и их видов является продолжением темы непрерывности функции. Наглядное (графическое) объяснение смысла точек разрыва функции даётся так же в контрасте с понятием непрерывности.

Научимся находить точки разрыва функции и определять их виды. И помогут нам в этом наши верные друзья – левый и правый пределы, обобщённо называемые односторонними пределами.

Если у кого-то есть страх перед односторонними пределами, то скоро развеем его.

Точки на графике, которые не соединены между собой, называются точками разрыва функции. График такой функции, терпящей разрыв в точке x=2 – – на рисунке ниже.

Обобщением вышесказанного является следующее определение. Если функция не является непрерывной в точке , то она имеет в этой точке разрыв а сама точка называется точкой разрыва. Разрывы бывают первого рода и второго рода.

Для того, чтобы определять виды (характер) точек разрыва функции нужно уверенно находить пределы, поэтому нелишне открыть в новом окне соответствующий урок. Но в связи с точками разрыва у нас появляется кое-что новое и важное – односторонние (левый и правый) пределы. Обобщённо они записываются (правый предел) и (левый предел).

Как и в случае с пределом вообще, для того, чтобы найти предел функции, нужно в выражение функции вместо икса подставить то, к чему стремится икс.

Но, возможно, спросите вы, чем же будут отличаться правый и левый пределы, если в случае правого к иксу хотя что-то и прибавляется, но это что-то – ноль, а в случае левого из икса что-то вычитается, но это что-то – тоже ноль? И будете правы. В большинстве случаев.

Но в практике поиска точек разрыва функции и определения их вида существует два типичных случая, когда правый и левый пределы не равны:

  • у функции существует два или более выражений, зависящих от участка числовой прямой, к которой принадлежит икс (эти выражения обычно записываются в фигурных скобках после f(x)=);
  • в результате подстановки того, к чему стремится икс, получается дробь, в знаменателе которой остаётся или плюс ноль (+0) или минус ноль (-0) и поэтому такая дробь означает либо плюс бесконечность, либо минус бесконечность, а это совсем разные вещи.

Точка разрыва первого рода: у функции существуют как конечный (т. е. не равный бесконечности) левый предел, так и конечный правый предел, но функция не определена в точке или левый и правый пределы различны (не равны).

Точка устранимого разрыва первого рода. Левый и правый пределы равны. При этом существует возможность доопределить функцию в точке.

Доопределить функцию в точке, говоря просто, значит обеспечить соединение точек, между которыми находится точка, в которой найдены равные друг другу левый и правый пределы.

При этом соединение должно представлять собой лишь одну точку, в которой должно быть найдено значение функции.

Пример 1. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва.

Решение. Функция не определена в точке . Находим левый и правый пределы функции в этой точке:

,

.

Левый и правый пределы равны, следовательно точка – точка устранимого разрыва первого рода.

Есть возможность доопределить функцию:

График функции с точкой разрыва – под примером.

Точка неустранимого (конечного) разрыва первого рода. Существуют левый и правый пределы, но они различны (не равны). Функцию невозможно доопределить. Разность пределов называется скачком.

Пример 2. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции

Решение. Очевидно, что в точке меняется выражение функции. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

,

.

Левый и правый пределы не равны равны, следовательно точка – точка неустранимого (конечного) разрыва первого рода. График функции с точкой разрыва – под примером.

Нахождение точек разрыва функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Точки разрыва второго рода

Точка разрыва второго рода: точка, в которой хотя бы один из пределов (левый или правый) – бесконечный (равен бесконечности).

Пример 3. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции

Решение. Из выражения степени при e видно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

,

.

Один из пределов равен бесконечности, поэтому точка – точка разрыва второго рода. График функции с точкой разрыва – под примером.

Нахождение точек разрыва функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика.

И ещё пара примеров, решаемых вместе, а далее – для самостоятельного решения.

Пример 4. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции

Решение. Из выражения степени при 2 видно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

.

Пределы не равны и конечны, поэтому точка – точка неустранимого разрыва первого рода. График функции с точкой разрыва – под примером.

Пример 5. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции

Решение. Очевидно, что в точке функция не определена. Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

,

.

Оба предела бесконечны, поэтому точка – точка разрыва второго рода. График функции с точкой разрыва – под примером.

Решить задачи на точки разрыва самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пройти тест по теме Предел

Весь раздел “Исследование функций”

Источник: https://function-x.ru/function_discontinuity.html

Как найти точки разрыва функции — пошаговая инструкция

Найти и классифицировать точки разрыва функции онлайн. Классификация точек разрыва функций

Нахождение точек разрыва функции является одним из обязательных моментов исследования на непрерывность. Для кого-то это может прозвучать непонятно, а для остальных будет слишком банально.

Но и тем, и другим не стоит делать поспешные выводы: материал этой темы действительно предельно прост, но вместе с тем для успешного решения практических задач потребуется осмыслить и запомнить несколько технических приемов и нюансов.

Как минимум необходимо понимать, что за «зверь» кроется под понятием предела функции. И конечно же, нужно уметь их решать. Не менее полезным станет понимание геометрического смысла, дополненное графиком — большинство задач подобного характера требуют построения чертежа после решения.

Определение точки разрыва

Как уже упоминалось, их поиск напрямую связан с темой непрерывности. Если говорить простым языком, то это не что иное, как координаты графика функции, в которых точки не соединяются между собой. Образуются «рваные области», которые и называют местом разрыва. Вообще, чтобы понять смысл, достаточно всего лишь взглянуть на рисунок:

Он более чем очевидно иллюстрирует определение понятия. Если функция прерывается в X0, то непрерывность в этом месте нарушена одним из двух возможных способов:

Задачи похожего типа, где необходимо находить точки разрыва, могут выступать не только, как один из этапов полного исследования на непрерывность, но и в качестве самостоятельных заданий. Чтобы определить их вид, потребуется отыскать предел для найденных значений. Поэтому, если вы еще не умеете их решать, самое время ненадолго отвлечься, чтобы изучить базовые основы.

К счастью, на практике это не так сложно — самый трудный этап заключается в приведении примера к одному из табличных. Остальные моменты легко запомнить. Не стоит забывать и о большом количестве сервисов, которые в несколько кликов выдадут значение предела любой сложности онлайн.

Классификация точек разрыва.

Точки разрыва первого и второго рода

Если функция не определена, но односторонние пределы имеют конечное значение, то ее относят к случаю первого рода. Который, в свою очередь, может иметь характеристику устранимого или конечного:

  • Точки устранимого разрыва функции. Значения вычислений обоих пределов для них равны. Но также имеется возможность «исправить ситуацию»: нахождения между двумя координатами такой, левый и правый пределы которой будут одинаковы, а сама она — соединит «порванный» участок, сделав график непрерывным.
  • Точки конечного разрыва первого родаскачок функции. Пределы могут быть вычислены, но в то же время не равны друг другу, и поэтому доопределение уравнения невозможно. Разница первого и второго называется скачком.
  • Точки разрыва второго рода отличаются тем, что вычисляемые пределы не просто различны по значению, но результат хотя бы одного из них обязательно должен быть равен бесконечности или несуществующему числу.

Как найти точки разрыва функции

Если в условиях задачи не были даны координаты проверяемого отрезка, то процесс решения делится на несколько этапов. Для начала нужно найти область определенных значений, с которой в дальнейшем пойдет работа. После это вычисляются односторонние пределы функции. Полученные результаты необходимо будет сравнить, чтобы однозначно определить род и характеристику разрыва.

Рассмотрим более подробно каждый из этих моментов на примере нахождения нужных нам точек у конкретного примера f (y)=(y² – 25)/(y – 5):

  1. Областью определения называют множество значений, в котором существует функция. Здесь не нужны никакие сложные вычисления, достаточно взять лишь знаменатель. Если y=5, то он будет (5−5)=0 и, как всем известно, делить на него нельзя. Таким образом, получаем область допустимых y ∈ (-∞; 5) ∪ (5; +∞) и предполагаем, что наша y = 5 является точкой разрыва.
  2. Вычисление односторонних пределов. Это самая сложная для учеников часть, т. к. пределы не всегда бывают удобными для вычисления, да не все на них «собаку съели». Но в этом случае функцию можно значительно упростить еще до начала вычисления: f (y) = (y ²-25)/(y — 5) = ((y-5)(y+5)) /(y — 5) = y+5. Никогда не пренебрегайте такой возможностью, если она есть. Заметим, что новая функция непрерывна при любом численном значении, т. ч. по всем математическим правилам пределы будут равны: lim (y + 5) = 5 + 5 = 10.
  3. Проверяя совпадение результатов, мы выяснили, что левый и правый предел функции в точке y=5 одинаковые. Но вместе с тем функция f(y) не может быть определена в этой координате, иначе ее знаменатель обращается в ноль, что невозможно по условиям. Следовательно, она действительно является разрывом, а именно: устранимым и первого рода.

Из этого видео вы узнаете, как исследовать непрерывность функции.

Источник: https://LivePosts.ru/articles/education-articles/matematika/kak-najti-tochki-razryva-funktsii-poshagovaya-instruktsiya

Непрерывность функции: определение, точки разрыва, примеры

Найти и классифицировать точки разрыва функции онлайн. Классификация точек разрыва функций

Непрерывные функции образуют основной класс функций, с которыми оперирует математический анализ. Представление о непрерывной функции можно получить, если сказать, что график ее непрерывен, т.е. его можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги.

Непрерывная функция математически выражает одно свойство, с которым нам приходится часто встречаться на практике, заключающееся в том, что малому приращению независимой переменной соответствует малое же приращение зависимой от нее переменной (функции).

Прекрасными примерами непрерывной функции могут служить различные законы движения тел , выражающие зависимости пути , пройденного телом, от времени .

Время и пространство непрерывны, при этом тот или иной закон движения тела устанавливает между ними определенную непрерывную связь, характеризующуюся тем, что малому приращению времени соответствует малое же приращение пути.

К абстракции непрерывности человек пришел, наблюдая окружающие его, так называемые сплошные среды — твердые, жидкие или газообразные, например металлы, воду, воздух.

На самом деле, как теперь хорошо известно, всякая физическая среда представляет собой скопление большого числа отделенных друг от друга движущихся частиц.

Однако эти частицы и расстояния между ними настолько малы по сравнению с объемами сред, с которыми приходится иметь дело в макроскопических физических явлениях, что многие такие явления можно достаточно хорошо изучать, если считать приближенно массу изучаемой среды без всяких просветов, непрерывно распределенной в занятом ею пространстве. На таком допущении базируются многие физические дисциплины, например гидродинамика, аэродинамика, теория упругости. Математическое понятие непрерывности играет, естественно, в этих дисциплинах, как и во многих других, большую роль.

Рассмотрим какую-либо функцию и вполне определенное значение независимой переменной . Если наша функция отражает некоторый непрерывный процесс, то значениям , мало отличающимся от должны соответствовать значения функции мало отличающиеся от значения в точке .

Таким образом, если приращение независимой переменной мало, то должно быть малым также и соответствующее приращение функции.

Иными словами, если приращение независимой переменной стремится к нулю, то приращение функции должно, в свою очередь, стремиться к нулю, что может быть записано следующим образом:

(1)

Это соотношение и является математическим определением непрерывности функции в точке .

Функция называется непрерывной в точке , если выполняется равенство (1).

Дадим еще такое определение:

Функция называется непрерывной для всех значений, принадлежащих к данному отрезку, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, т.е. в каждой такой точке выполняется равенство (1).

Таким образом, для того чтобы ввести математическое определение свойства функции, заключающегося в том, что график ее есть непрерывная (в обычном понимании этого термина) кривая, появилась необходимость определить сначала локальное, местное свойство непрерывности (непрерывность в точке ), а затем на этой основе определить непрерывность функции на целом отрезке.

Приведенное определение, впервые указанное в начале прошлого столетия Коши, является общепринятым в современном математическом анализе. Проверка на многочисленных конкретных примерах показала, что это определение хорошо соответствует сложившемуся у нас практическому представлению о непрерывной функции, например представлению о непрерывном графике.

В качестве примеров непрерывных функций могут служить известные из школьной математики элементарные функции . Все перечисленные функции непрерывны на отрезках изменения , где они определены.

Если непрерывные функции складывать, вычитать, умножать и делить (при знаменателе, не равном нулю), то в результате мы снова придем к непрерывной функции. Однако при делении непрерывность, как правило, нарушается для тех значений , при которых функция, стоящая в знаменателе, обращается в нуль. Результат деления представляет собой тогда разрывную в точке функцию.

Функция может служить примером разрывной в точке функции. Ряд других примеров разрывных функций дают графики, изображенные на рис. 1.

Рекомендуем внимательно рассмотреть эти графики. Отметим, что разрывы функций бывают разные: иногда с приближением к точке , где функция претерпевает разрыв, предел существует, но отличен от , а иногда, как на рис. 1в, этого предела просто не существует.

Бывает и так, что с приближением к с одной стороны , а если , приближаясь с другой стороны, то уже не стремится к нулю. В этом случае, конечно, мы имеем разрыв функции, хотя про нее можно сказать, что она в этой точке «непрерывна с одной стороны».

Все эти случаи можно проследить на приведенных графиках.

Определение непрерывности функции

1. Функция непрерывна в точке , если пределы слева и справа равны и равны значению функции в этой точке, т.е.

2. Функция непрерывна в точке , если она определена в этой точке и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. вблизи точки .

Сумма, разность и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

Непрерывная на отрезке функция принимает любое промежуточное значение между ее наименьшим и наибольшим значением, то есть для всех .

Отсюда следует, что если в граничных точках отрезка функция имеет разные знаки, то внутри отрезка есть по крайней мере одно такое значение , при котором функция обращается в ноль.

Это свойство непрерывности функций позволяет находить приближенно корни многочленов.

Точки разрыва функции

Значения аргумента, которые не удовлетворяют условиям непрерывности, называются точками разрыва функции. При этом различают два рода точек разрыва функции.

Если при слева функция имеет конечный предел , а при справа функция имеет конечный предел и , то говорят, что функция при имеет разрыв первого рода. Разность определяет скачок функции в точке . Значение функции при при этом может быть равно какому угодно числу .

Если значение функции при равно , то говорят, что функция непрерывна слева; если же , то говорят, что функция непрерывна справа.

Если говорят, что функция имеет в точке устранимый разрыв.

Если при справа или слева, предел функции не существует или равен бесконечности, то есть , то говорят, что при функция имеет разрыв второго рода.

Пример 1. Найти множество значений , при которых функция непрерывна.

Решение. Найдем приращение функции

При любых значениях переменной приращение , если только поэтому функция непрерывна при всех действительных значениях переменной .

Пример 2. Доказать непрерывность функции в точке .

Решение. Для доказательства найдем приращение функции при переходе значения аргумента от к

Найдем предел приращения функции при

Так как предел приращения функции при равен нулю, то функция при непрерывна.

Пример 3. Определить характер разрыва функций и построить графики:

Решение.

a) При функция не определена, найдём односторонние пределы в этой точки:

Следовательно, в точке функция имеет разрыв второго рода.

b) При предел функции равен . При предел равен . Следовательно, в точке функция имеет разрыв первого рода и скачок функции равен .

c) Функция определена на всей числовой оси, неэлементарная, так как в точке аналитическое выражение функции меняется. Исследуем непрерывность функции в точке :

Очевидно, что в точке функция имеет устранимый разрыв.

d) Найдём левый и правый пределы функции в точке :

Итак, в точке справа функция имеет разрыв второго рода, а слева – непрерывность.

e) Найдём односторонние пределы функции в точке :

Итак, в точке с обеих сторон у функции скачки.

Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=nepreryvnost-funktsii

Классификация точек разрыва функций

Найти и классифицировать точки разрыва функции онлайн. Классификация точек разрыва функций

Точкаа называется точкой устранимого разрывафункции ,если предел функции в этой точкесуществует, но в точке а функциялибо не определена, либо ее значениенеравно пределу в этой точке

Точкаа называется точкой разрыва первогорода функции ,если в этой точке функция имеет конечные,но не равные друг другу левый и правыйпределы.

Точкаа называется точкой разрыва второгорода функции Точка а называется точкойустранимого разрыва функции ,если в этой точке функция не имеет покрайней мере одного из одностороннихпределов или хотя бы один из одностороннихпределов бесконечен.

25.Производная: определение, механическийи геометрический смысл. Уравне-ниекасательной к кривой.

Определение производной

Пусть функция определенана некотором промежутке Х. Придадимзначению аргумента в точке произвольное приращениетак, чтобыточка такжепринадлежала Х. Тогда соответствующееприращениефункциисоставит .

Опр.Производной функции в точкеназывается предел отношения приращенияфункции в этой точке к приращениюаргумента при(если этот предел существует).

Если в некоторойточке предел бесконечен, то говорят,что в этой точке функция имеет бесконечнуюпроизводную. Если функция имеет производную в каждой точкемножества Х, то производнаятакже является функцией от аргументах, определенной на Х.

Геометрический смысл производной

Для выяснениягеометрического смысла производнойнам понадобится определение касательнойк графику функции в данной точке.

Опр. Касательнойк графику функции в точке М называется предельное положениесекущей МN, когда точка N стремится кточке М по кривой.

Уравнение пучкапрямых, проходящих через точку ,имеет вид

Угловой коэффициентсекущей равен

Тогда угловойкоэффициент касательной равен

Отсюда следуетнаглядный вывод о том, что .В этом и состоитгеометрическийсмысл производной.

  • Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан:  координата  x  движущейся точки – известная функция  x ( t ) времени  t.

    В течение интервала времени от  t0  до  t0 + точка перемещается на расстояние:x ( t0 + ) –x ( t0 ) = , а еёсредняя скорость равна:  va =  /  .

     При  0  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называетсямгновенной скоростью  v t0 )  материальной точки в момент времени  t0 . Но по определению производной мы имеем: 

  • отсюда,  v t0 ) = x’ t0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит  механический смысл производной.Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:  a = v’ t ).

Уравнениекасательнойк графику функции в точке имеет вид:

26.Основные правила дифференцирования.Производные основных элементар-ныхфункций.

Правиладифференцирования.

1. Производнаяпостоянной равна нулю

.

2. Производнаяаргумента равна единице.

.

3. Производнаяалгебраической суммы конечного числадифференцируемых функций равна такойже сумме производных этих функций.

.

  1. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго.

Следствие 1.Постоянный множитель можно выноситьза знак производной.

.

Следствие 2.Производная произведения несколькихдифференцируемых функций равна суммепроизведений производной каждого изсомножителей на все остальные, например

.

5. Производнаячастного двух дифференцируемых функцийможет быть найдена по формуле:

Производныеосновных элементар-ных функций.

1. (C)”= 0, где C = const

2. (xa)”= axa-1,где aне равно 0

3. (ax)”= axlna, где a > 0

4. (ex)”= ex

5. (logax)”=1/xlna,где a > 0

6. (ln x)”=1/x

7. (sin x)”= cos x

8. (cos x)”= -sin x

9. (tg x)”=1/cos2x

10. (ctgx)”= -1/sin2x

11. (arcsinx)”= 1/~1-x2

12. (arccosx)’= -1/~1-x2

13. (arctgx)”=1/1+x2

14. (arcctgx)”= -1/1+x2

27.Производная сложной функции. Производныевысших порядков. 

Источник: https://studfile.net/preview/5185504/page:5/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.